Le 14 mars, c'est la journée du nombre Pi : combien de chiffres après la virgule pouvez-vous citer ?

Le 14 mars s’écrit "3/14"  chez nos voisins anglo-saxons. Et 3,14, c’est aussi le fameux symbole "Pi". C’est donc tout naturellement que cette date est devenue au fil du temps la journée internationale de ce nombre mythique : une suite de décimales qui, comme nous l'avons tous appris à l'école, définit le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Cette idée saugrenue de fêter Pi est née dans l'esprit farfelu du physicien Larry Shaw, à l'Exploratorium de San Francisco, en 1988. 

Revenons un instant sur ce concept mathématique. Représenté par la lettre grecque"π", Pi est ce qu’on appelle un nombre irrationnel. C’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction comprenant deux nombres entiers. Si ce symbole existe depuis l'époque babylonienne, c'est le mathématicien grec Archimède qui, en 250 avant J.-C, a démontré pour la première fois comment estimer de manière rigoureuse sa valeur exacte. Pour mieux comprendre, rien de mieux qu'un exemple concret. 

Imaginez que vous deviez mesurer la distance d’une piste d’athlétisme située près de chez vous. Pour obtenir une estimation, vous pouvez parcourir un tour, puis consulter une application de podomètre sur votre téléphone pour déterminer le kilométrage parcouru. L’appareil calcule directement la distance en estimant la longueur de votre foulée en se basant sur votre taille (que vous avez saisie dans l'application), puis compte le nombre de pas que vous avez effectués. Ensuite, il multiplie la longueur de la foulée par le nombre de pas pour calculer la distance totale parcourue.

Archimède a utilisé une méthode plus ou moins similaire pour estimer la circonférence d'un cercle. Sauf qu’il a pris un raccourci. Par définition, Pi correspond au rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Il suffit donc de multiplier le nombre de lignes par la longueur de chacune pour estimer la circonférence du cercle (figure 1). Evidemment, ce n’est qu’une valeur approximative. Elle sous-estimera donc la longueur réelle du cercle. Mais en multipliant les segments par 6, 12 ou 24, (figure 2), il est possible de l'obtenir de manière extrêmement précise.

FIGURE 1.

FIGURE 2.

Archimède était un visionnaire. Le concept de l'infini était tabou parmi les mathématiciens de son temps. Il a pourtant ouvert la voie à l'invention du calcul. Et le calcul a contribué quant à lui à rendre le monde moderne. De nos jours, la méthode imaginée par le mathématicien grec est utilisée dans des logiciels pour modéliser en trois dimensions les personnages des films d’animation via des millions de petits polygones. Ou bien encore, dans le domaine médical, pour la chirurgie reconstructrice du visage,  par exemple. 

Si l'on en croit le site Number World, le plus grand nombre de décimales calculées après la virgule est de... 31.415.926.535.897, soit plus de 31.000 milliards de chiffres. Tout de même ! Pour arriver à cela, le Japonais Emma Haruka Iwao a utilisé un ordinateur extrêmement puissant durant 120 jours. Personne n’a été mesure de battre ce record depuis le 21 janvier 2016. Sans aller jusqu'à cette extrémité, pour en retenir quelques-unes, il existe un moyen mnémotechnique populaire donnant plus de 150 décimales de π : c'est le poème de Maurice Decerf, sur la base du nombre de lettres à chaque mot.

"Que (3) j’ (1) aime (4) à (1) faire (5) apprendre (9) un (2) nombre (6) utile (5) aux (3) sages (5). Glorieux (8) Archimède (9), artiste (7) ingénieux (9)!  Toi (3), de (2) qui (3) Syracuse(8), aime (5) encore (6) la (2) gloire (6), soit (4) ton (3) nom (3) conservé (8) par (3) de (2) savants (7) grimoires (9)"

Ce qui donne : π = 3. 141592653589793238562643383279

La suite :

"Jadis, mystérieux, un problème existait. 

Tout l’admirable procédé, l ‘œuvre étonnante ! 

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs : 

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe ! 

Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez 

Défié Pythagore et ses imitateurs ! 

Comment intégrer l’espace plan circulaire ? 

Former un triangle auquel il équivaudra ? 

Nouvelle invention : Archimède inscrira 

Dedans un hexagone ; Appréciera son aire 

Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra ! 

Dédoublera chaque élément antérieur ; 

Toujours de l’orbe calculée approchera ; 

Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur 

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle ! 

Professeur, enseignez son problème avec zèle…"